5.1 Lógica categórica.
Las definiciones de categorías y funtores nos proveen sólo de la base inicial del álgebra categorial. Los tópicos listados abajo son muy importantes. Aunque hay fuertes interrelaciones entre todos ellos, el orden en que los damos puede ser considerado una guía para posteriores lecturas.
transformación natural: Mientras los funtores dan un camino para pasar, imprimir una categoría en otra, las transformaciones naturales nos proveen de una relación similar entre funtores.
El Lema de Yoneda es uno de los resultados más famosos de la teoría de categorías.
Límites y colímites: Para introducir ciertas construcciones como los productos (de conjuntos, de topologías, de órdenes parciales, ...), en la teoría, los límites y los colímites son de ayuda.
funtores adjuntos:
Un funtor puede ser el adjunto por la izquierda (o por la derecha) de otro funtor que vaya en la dirección opuesta. Sin embargo, cuando los comparamos con las relaciones clásicas de las aplicaciones que preservan las estructuras (inversas...), el concepto de adjunción de funtores aparenta ser bastante abstracto y general.
Es de gran utilidad aún y tiene relación con muchos otros conceptos importantes, como ocurre en la construcción de límites.
equivalencia de categorías: Para obtener un criterio adecuado para discernir si dos categorías pueden o no ser consideradas similares, es necesario encontrar una noción más general que el concepto clásico de isomorfismo.
Las equivalencias de categorías están muy relacionadas con dualidad de categorías.
diagramas conmutativos: Ya que la teoría de categorías trata usualmente con objetos y flechas es conveniente expresar las identidades mediante diagramas.
5.2 Esquemas Bayesianos.
5.3 Modelo Shortliffe & Buchanan, de medidas de certeza. Mycin.
Uno de los primeros basados en reglas de inteligencia artificial sistemas expertos, que obtuvo los datos clínicos de un usuario interactivamente médico y se utiliza para diagnosticar y recomendar el tratamiento para las infecciones graves. Aunque nunca se utiliza en la práctica (ya que precedieron a la era de la creación de redes de área local y no se podría integrar con los registros de pacientes y de flujo de trabajo médico), su rendimiento se demostró que era comparable a y a veces más preciso que el de la facultad de Stanford enfermedad infecciosa.
Esto estimuló el desarrollo de una amplia gama de actividades en el desarrollo de sistemas expertos basados en reglas, representación del conocimiento, redes de creencias y otras áreas, y su diseño gran influencia en el posterior desarrollo de la informática en la medicina.
5.4 Modelo Dempster – Shafer.
En primer lugar, y dado un universo de discurso cualquiera, Dempster y Shafer
introducen el concepto de marco de discernimiento, que definen como “... el conjunto
finito de todas las hipótesis que se pueden establecer en el dominio del problema”. El
marco de discernimiento debe formar un conjunto completo, y por tanto exhaustivo, de
hipótesis mútuamente excluyentes.
Por otra parte, el efecto de una determinada evidencia sobre el conjunto global
de hipótesis no viene determinado por la contribución de la confianza depositada en las
hipótesis individuales. Por el contrario, el efecto de cada evidencia afecta generalmente
a un subconjunto de hipótesis del marco de discernimiento. Este planteamiento es
coherente con la realidad de casi todos los problemas cotidianos
Según este planteamiento:
• θ es el marco de discernimiento
• A es un subconjunto cualquiera del marco
• h1, ..., hn son las hipótesis del marco
Ahora podemos establecer fácilmente el conjunto Γθ de todos los subconjuntos
posibles del marco. En este contexto, la aparición de una determinada evidencia e
favorecerá a un determinado subconjunto A de θ, de forma que el grado en que A se vea
favorecido se representa por m(A), en donde m es indicativo de la confianza que la
evidencia e permite depositar en A. m se denomina función básica de asignación de
verosimilitud, y toma valores en el intervalo cerrado [0, 1].
Al respecto, utilizaremos la
siguiente notación:
e: A = {ha, hb, hc} → m(A) = x, con x ∈ [0, 1]
El hecho de que la evidencia e apoye al subconjunto A no implica, como ya
hemos dicho, que las hipótesis individuales se repartan de forma explícita la confianza
depositada en la propia A. Esto constituye una diferencia notable con respecto a la teoría
clásica de la probabilidad, según la cual, si h1, h2, h3 y h4 son las cuatro únicas
hipótesis posibles en un dominio dado:
Si p(h1, h2) = 0.80
de alguna manera estamos afirmando que:
p(h1) = 0.40
p(h2) = 0.40
Este mismo ejemplo contemplado bajo la óptica de la teoría evidencial tendría el
siguiente tratamiento:
θ = { h1, h2, h3, h4 }
Γθ = {ø, (h1), (h2), (h3), (h4), (h1, h2), (h1, h3), (h1, h4), (h2, h3), (h2, h4), (h3, h4),
(h1, h2, h3), (h1, h2, h4), (h1, h3, h4), (h2, h3, h4), (h1, h2, h3, h4) }
Γθ contiene a los 16 subconjuntos posibles que se pueden establecer con las
cuatro hipótesis iniciales del marco de discernimiento. Nótese que en Γθ están
incluidos el conjunto vacío {ø}, y el propio marco { θ = (h1, h2, h3, h4) }
Si elegimos un subconjunto
A del marco, por ejemplo A = (h1, h2, h3), de tal
manera que:
e: A = (h1, h2, h3) → m(A) = 0.75, lo único que se afirma es que, dada la evidencia e, la verosimilitud de A es 0.75. Es
claro que ninguna de las hipótesis individuales de A se ve afectada por esta asignación
de verosimilitud, ya que cualquier otra hipótesis, o cualquier otro conjunto de hipótesis
son, en realidad, subconjuntos diferentes de Γθ, independientes -en principio- de la
evidencia e.
Todo subconjunto del marco de discernimiento para el cual, dada una evidencia
e, se verifique que m(A) ≠ 0, se denomina elemento focal.
Volviendo por un instante a la función básica de asignación de verosimilitud,
Dempster y Shafer definen las siguientes condiciones para m:
• ∑
⊂φ
=
A
m( A) 1
• m(ø) = 0
Ambas condiciones son consecuencia de las restricciones impuestas al marco de
discernimiento45
.
Decíamos también que la teoría evidencial proporciona un medio elegante para
tratar la falta de conocimiento asociada a los procesos de razonamiento. Supongamos un
marco de discernimiento θ y una evidencia tal que:
e: A ⊂ θ → m(A) = s, con 0 ≤ s ≤ 1
La primera condición exigida a m establece que ∑ ( ) = 1
A⊂φ
m A , entonces ...¿qué
pasa con el resto de confianza que no ha sido asignada al elemento focal A?
Al respecto, Dempster y Shafer postulan que:
Si: e: A ⊂ θ → m(A) = s, con 0 ≤ s ≤ 1
Entonces: m(θ) = 1 - m(A) = 1 - s
Esta formulación debe interpretarse del siguiente modo: puesto que la evidencia
e supone la asignación de una confianza dada a un determinado elemento focal A del
marco, el resto de la confianza no asignada representa “falta de conocimiento” y, por lo
tanto, debe ser asignada al propio marco de discernimiento.
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